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By Felix Klein, C.H. Müller, F. Seyfarth

VI Jahren sichtlich immer mehr, insbesondere auch im Auslande, zur Gel tung. Aber nicht minder ist meine Dberzeugung (was ich nie unter lassen babe, hinzuzuftigen), daB ein solcher Unterricht, entsprechend der heutigen Entwickelung der Wissenschaft, ftir die Ausbildung der Fachmathematiker auf der Oberstufe nicht gentigt, daB hier vielmehr neben den Tatsachen der Anschauung die zentrale Bedeutung des modernen Zahlbegriffs und der weitgehenden mit ihm zusammen hangenden Entwickelungen hervortreten muB. Und nun vermisse ich in den Lehrbtichern und Vorlesungen, welche ich kenne, die Uber leitung von der einen Auffassung zur anderen. Hier will sich die fol gende Darstellung als eine Erganzung einschieben; ihr bestes Ziel wird erreicht sein, wenn sie sich eines Tages als tiberfliissig erweisen sollte, weil die Uberlegungen, die sie bringt, zu selbstverstandlichen Bestand teilen jedes hoheren mathematischen Unterrichts geworden sind. Gottingen, den 28. Februar 1902. F. Klein. Vorwort zur zweiten Auflage. Das Folgende ist im wesentlichen ein unveranderter Abdruck der ersten Ausgabe dieser Vorlesungen vom Jahre 1902. Nur an einzelnen Stellen sind einige Ungenauigkeiten verbessert, sowie in gelegentlichen Zusatzen Hinweise auf neuere Publikationen gegeben, die in engstem Zusammen hange mit den in der Vorlesung gegebenen Entwickelungen stehen. Am Schlusse ist ein Abdruck des, Gutachtens der Gottinger philosophischen Fakultat betreffend die Beneke-Preisaufgabe ftir 1901," auf das die Aus ftihrungen des Textes verschiedentlich Bezug nehmen, hinzugeftigt. Gottingen, den five. Januar 1907. C. H. Miiller. Vorwort zur dritten Auflage. Die Vorlesung F.

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A o , a 1 + 1, an dessen linkem Endpunkt f (x) noch positiv, an dessen rechtem Endpunkt f (x) negativ ist, so daß für dieses Zehntelintervall eben dasjenige stattfindet, was für das ganzzahlige Intervall gilt. Das Zehntelintervall a o, a 1 . • . a o, a 1 + 1 teilen wir jetzt in 10 Hundertelintervalle aO,a10; a o ,a 11; a o ,a 12; ... ; a o , a 19; a o ,a 1+1,0, wo wieder f (x) für einen der Teilpunkte verschwinden kann, was wir indes ausschließen wollen. 'Vir wählen wieder das erste dieser Intervalle, an dessen linkem Endpunkt f (x) positiv, an dessen rechtem Endpunkt f (x) negativ ist.

3. 4. 5. Hieraus ergibt sich für die stetige Funktion I (x) keine neue Einschränkung. Wir werden vielmehr finden, daß der Flächeninhalt, d. h. b das bestimmte Integral f I (x) d x bei jeder im Intervalle a < a x < b stetigen Funktionen y = f(x) 23 einer Veränderlichen x. Funktion wohldefiniert ist, mit anderen Worten, daß jede stetige Funktion integrierbar ist. 3. Wir achten nun auf den Allgemeinverlauf der empirischen Kurve, d. h. auf das Anwachsen bzw. Abnehmen der Ordinate, und finden, daß die Ordinate nur endliche Werte annimmt, im Intervallinnern oder an den Intervallenden einen größten und kleinsten Wert hat, und im Intervall nur eine endliche Anzahl Maxima und Minima darbietet (Abb.

Wir kommen zu dieser Fragestellung, wenn wir eine Kurve betrachten, die einmal flach, das andere Mal steil ansteigt. 213-251. 32 Von den Funktionen reeller Veränderlicher. schiedene Stellen X o äußerst verschieden sein kann [je nachdem die Kurve flacher oder steiler verläuft (Abb. 12)]. Wir können uns dies durch eine Hilfskurve, die uns eine Beurteilung des Maßes der Stetigkeit gestattet, klarer machen. Wir wählen X o als Abszisse und etwa 104 ~o als Ordinate. Die entstehende Kurve (die uns für gegebenes 'YJ die Abhängigkeit des ~o von X o gibt) wird im ganzen Intervalle positive Ordinaten haben.

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