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By George D. Birkhoff

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Sia u ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C QT una sottosoluzione dell’equazione di diffusione. Se u assume il massimo M in un punto (x1 , t1 ) con x1 ∈ Ω e 0 < t1 ≤ T , allora u ≡ M in Ω × [0, t1 ]. Un enunciato analogo vale per il minimo se u è una soprasoluzione in QT . 3). 4 (Principio di Hopf). Sia u ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C QT sottosoluzione dell’equazione di diffusione. Assumiamo che: una 1. x0 ∈ ∂Ω ha la proprietà della sfera interna, cioè: esiste una sfera BR ⊂ Ω tangente a ∂Ω in x0 ; 2. (x0 , t0 ) ∈ ST è punto di minimo per u in QT ed inoltre u (x0 , t0 ) < u (x,t) in Ω × [0, t0 ); 3.

50) 1 = +∞. 51) mentre lim ΓD (0, t) = lim √ t↓0 14 t↓0 Ricordare che 2 e−z = R √ π. 51) insieme a R ΓD (x, t) dx = 1 per ogni t > 0, implicano che, quando si fa tendere t a 0, la soluzione fondamentale tende a concentrarsi intorno all’origine. 4, il grafico di Γ1 ). La distribuzione limite di massa si può modellare matematicamente introducendo la distribuzione (o misura) di Dirac nell’origine, che si indica con il simbolo δ 0 o semplicemente con δ. La sua denominazione indica che non si tratta di una funzione nel solito senso dell’analisi poiché dovrebbe avere le proprietà seguenti: • δ (0) = ∞, δ (x) = 0 per x = 0; • R δ (x) dx = 1, chiaramente incompatibili con ogni concetto classico di funzione e di integrale.

44), a sinistra, c’è una quantità adimensionale. Ne segue che anche l’espressione U (Π1 , t, D, Q) deve essere adimensionale. 44) avremmo una variazione mentre Π rimarrebbe invariato. In conclusione si deduce che deve essere Π = U (Π1 ) e cioé, ritornando alle variabili originali, troviamo Q u∗ (x, t) = √ U Dt x √ Dt dove U > 0 essendo u∗ > 0. 39) non abbiamo usato l’equazione del calore!! 39) si chiamano soluzioni di autosimilarità (self similar solutions 12 ). Passo 2. 37). 38) deve poi essere Q Q= √ Dt 12 U R x √ Dt dx =√ ξ=x/ Dt Q U (ξ) dξ R Una soluzione di un particolare problema di evoluzione si dice di autosimilarità o autosimile se la sua configurazione spaziale (grafico) rimane simile a sé stessa per ogni tempo durante l’evoluzione.

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